Blog literacki, portal erotyczny - seks i humor nie z tej ziemi
POMIAR <*>
"Studia Logica" 1961, t. XI. str. 223-231.
1. Mierząc jakiś przedmiot, możemy go mierzyć pod różnymi względami.
Mierząc dany pręt możemy go mierzyć pod względem jego długości lub pod względem
jego objętości, pod względem jego ciężaru itd. Niezbędnym założeniem każdego
pomiaru jest więc ustalenie tego, pod jakim względem pomiar ma być
przeprowadzony.
Czym jest ów "wzgląd", pod którym pomiar przeprowadzamy, a więc np.
długość, objętość, ciężar? Jest to zawsze pewien rodzaj, a więc pewna klasa cech
między sobą rozłącznych, to znaczy takich, z których dwie różne nie przysługują
nigdy temu samemu przedmiotowi. Np. długość jest to rodzaj, czyli klasa cech,
do której należą różne długości, np. długość 1 m, długość 2 m itd., które są,
oczywiście, między sobą rozłączne.
Każdy rodzaj, czyli klasa cech rozłącznych, wyznacza pewien stosunek,
którego polem jest zbiór wszystkich przedmiotów posiadających jakąś spośród cech
tego rodzaju. Jest to mianowicie stosunek, który zachodzi między dwoma takimi
przedmiotami zawsze i tylko wtedy, gdy mają tę samą cechę danego rodzaju. Np.
długość wyznacza stosunek zachodzący pomiędzy dwoma przedmiotami zawsze i tylko
wtedy, gdy oba mają tę samą długość.
Stosunek polegający na posiadaniu tej samej cechy spośród rozłącznych cech
rodzaju P jest oczywiście stosunkiem zwrotnym i symetrycznym w zbiorze
przedmiotów posiadających którąś z cech rodzaju P. Każdy bowiem przedmiot
posiadający jakąś z cech rodzaju P zgadza się sam ze sobą co do tej cechy.
Jeżeli przedmiot a zgadza się z przedmiotem b co do posiadanej cechy rodzaju P,
to przedmiot b zgadza się też z przedmiotem a co do tego. Jest on też stosunkiem
przechodnim, bo gdyby przedmioty a i b miały tę samą cechę rodzaju P, i
przedmiot b oraz c miały tę samą cechę rodzaju P, zaś przedmioty a i c nie miały
tej samej cechy rodzaju P, to cecha rodzaju P wspólna przedmiotom a i b oraz
cecha rodzaju P wspólna przedmiotom b i c nie mogłaby być tą samą cechą, gdyż
wtedy przedmiot a i przedmiot c miałyby jakąś wspólną cechę rodzaju P. Jeśli
jednak inna cecha rodzaju P byłaby wspólna przedmiotom a i b i inna cecha tego
rodzaju była wspólna przedmiotom b i c, to wtedy przedmiot b posiadałby dwie
różne cechy rodzaju P. To jednak jest niemożliwe, jeżeli cechy rodzaju P są
rozłączne.
Stosunek polegający na posiadaniu tej samej cechy spośród rozłącznych cech
rodzaju P jest zatem stosunkiem zwrotnym, symetrycznym i przechodnim, a więc
pewnego rodzaju równością. Nazywamy go równością pod względem P.
Stwierdziliśmy na wstępie, że niezbędnym założeniem każdego pomiaru jest
ustalenie tego, pod jakim względem pomiar ów ma być przeprowadzony. Zobaczyliśmy
jednak, że z chwilą, gdy ów "wzgląd" jest ustalony, ustalone jest także, kiedy
dwa przedmioty są pod tym względem równe. Wynika z tego, że dopóki, nie jest
ustalone, kiedy dwa przedmioty są pod danym względem równe, dopóty też nie jest
ustalone, pod jakim względem pomiar przeprowadzamy. Możemy więc powiedzieć, że
niezbędnym założeniem każdego pomiaru jest ustalenie pewnej równości,
mianowicie: równości przedmiotów, pod tym względem, pod którym chcemy je
mierzyć.
Z drugiej strony wiadomo z teorii stosunków, że każdy stosunek równościowy
wyznacza w sposób jednoznaczny pewien podział logiczny swego pola, a więc
wyznacza pewną rodzinę rozłącznych jego podklas, których suma z polem tym
się pokrywa. Jest to - jak wiadomo - rodzina klas abstrakcji ze względu na ten
stosunek, tzn. rodzina klas złożonych ze wszystkich i tylko tych przedmiotów,
które do jakiegoś przedmiotu w tym stosunku pozostają. Każdej z tych podklas
odpowiada cecha dla niej charakterystyczna, a ich rodzinie odpowiada rodzaj
tych cech, czyli tzw. "wzgląd", pod którym cechy te przedmiotom przysługują.
Jak z tego widać, ustalenie "względu", pod którym przedmioty mają być
mierzone, jest równoważne z ustaleniem odpowiedniego stosunku równościowego tzn.
z ustaleniem, kiedy dwa przedmioty mierzone będą uważane przy tym pomiarze za
równe. Idzie tu oczywiście o równość pod pewnym względem, a nie o identyczność.
A więc np. ustalenie tego, co to jest długość, jest równoważne z ustaleniem
tego, kiedy dwa przedmioty są równie długie; ustalenie tego, co to jest ciężar,
jest równoważne z ustaleniem tego, kiedy dwa ciała są równie ciężkie itd.
Twierdzenie to jest oczywistą konsekwencją znanej z teorii stosunków
zasady dzięki tej równoważności tzw. "wzgląd", pod którym zamierzamy przedmioty
mierzyć, może zostać ustalony przez określenie, kiedy dwa przedmioty uważać
będziemy za równe przy pomiarach danego rodzaju. W praktyce mierzenia
rozpoczynamy też zazwyczaj wykład definicji stanowiących podstawowe założenia
danego pomiaru od odpowiedniej definicji równości.
Jest rzeczą jasną, że wraz ze zmianą definicji równości otrzymywać
będziemy inne wyniki pomiaru. W szczególności, przy pomiarach przestrzennych
przy pewnej definicji stosunku równej długości możemy otrzymać wyniki pomiarów,
które potwierdzą geometrię euklidesową, przy innej jednak definicji stosunku
równej długości możemy otrzymać wyniki pomiarów, które nie będą się zgadzały
z geometrią euklidesową, ale potwierdzą jakąś inną geometrię. Ten stan rzeczy
mógłby zostać wypowiedziany w tych słowach, że to, za jaką geometrią opowie
się pomiar, a więc doświadczenie, zależy od przyjętych definicji pomiarowych.
Stąd można by snuć wnioski, że wobec tego, iż definicje pomiarowe są arbitralne,
od naszych arbitralnych konwencji definicyjnych zależy też to, czy przestrzeń
rzeczywista jest, czy też nie jest euklidesowa. Sformułowanie to brzmi bardzo
sensacyjnie; nie jest też pozbawione pewnej intelektualnej pikanterii i mogłoby
być uważane za otwarcie drogi do idealizmu ontologicznego.
Jeżeli jednak będziemy sobie zdawali sprawę z tego, że zmieniając
definicję równej długości, zmieniamy sens słowa "długość", że pomiary oparte na
jednej definicji równej długości są pomiarami tychże przedmiotów pod innym
względem niż pomiary oparte na innej definicji równej długości, to posmak
sensacji odpadnie. Nie ma przecież nic sensacyjnego w tym, że mierząc przedmioty
pod jednym względem, otrzymamy wyniki doprowadzające do jednej teorii, a mierząc
je pod innym względem, otrzymamy wyniki doprowadzające do innej teorii,
całkowicie różnej od pierwszej. Arbitralność definicji pomiarowych, a w
szczególności arbitralność definicji równości i wszystkie płynące z niej
konsekwencje są tylko prostą konsekwencją tego, że od naszej swobodnej decyzji
zależy to całkowicie, pod jakim względem chcemy przedmioty poddawać pomiarowi.
2. Wszelki pomiar polega na przyporządkowaniu przedmiotom mierzonym
czy też ich cechom przysługującym im pod tym względem, pod którym je mierzymy,
pewnych liczb jako ich miary. Cechom przedmiotów mierzonych (ich długościom,
ciężarom lub tp.) przyporządkujemy ich liczbowe miary w sposób wzajemnie
jednoznaczny, przedmiotom zaś w sposób wielo-jednoznaczny: tę samą miarę
liczbową przyporządkujemy wszystkim przedmiotom, które są równe pod danym
względem. Przyporządkowanie przez pomiar przedmiotom mierzonym czy też ich
cechom pewnych liczb jako ich miar dokonywane jest jednak w sposób osobliwy. Nie
jest to mianowicie przyporządkowanie zupełnie dowolne i nic nie mówiące, jak np.
to, którego dokonywamy przeprowadzając zwykłą numerację przedmiotów.
Przyporządkowanie dokonywane przez pomiar jest takie, że pozwala ze stosunków
pomiędzy przyporządkowanymi przedmiotom liczbami wnioskować o zachodzeniu
odpowiednich stosunków pomiędzy tymi przedmiotami. Jeśli np. ważąc trzy
przedmioty, znajdę jako ich miary liczbowe pod względem ciężaru odpowiednio
liczby 5, 3 i 2, to z tego, że 5=3+2, będę mógł wnosić, że waga obciążona na
jednej szalce ciałem o mierze 5, a na drugiej ciałami o mierze 3 i 2 będzie się
znajdowała w równowadze.
Jeśli jakaś relacja R odwzorowuje pole stosunku S na polu stosunku T w
sposób wzajemnie jednoznaczny i tak, że ilekroć między przedmiotami x i y
zachodzi stosunek T, tylekroć między przyporządkowanymi tym przedmiotom przez
relację R przedmiotami x' i y' zachodzi stosunek S, i na odwrót, wówczas mówimy,
że relacja R odwzorowuje relację S na relacji T w sposób "izomorficzny".
Jeśli zaś relacja R odwzorowuje pole relacji S na polu relacji T w sposób
wielo-jednoznaczny i to tak, że ilekroć między dwoma przedmiotami x i y zachodzi
relacja T, tylekroć między dowolnymi dwoma przedmiotami, którym relacja R
przyporządkowuje przedmioty x i y, zachodzi relacja S - wówczas mówimy, że
relacja R odwzorowuje relację S na relacji T w sposób "homomorficzny".
Korzystając z tej terminologii, będziemy mogli ów osobliwy sposób, w jaki
przez pomiar zostają mierzonym przedmiotom czy też przysługującym im pod danym
względem cechom, przyporządkowane pewne liczby jako ich miary, scharakteryzować
w następujących słowach. Pomiar przyporządkowuje mierzonym przedmiotom w sposób
wielo-jednoznaczny pewne liczby jako ich miary, wedle takiej zasady (relacji),
która pewne stosunki pomiędzy liczbami odwzorowuje w sposób homomorficzny na
pewnych stosunkach pomiędzy odpowiednimi przedmiotami. Równocześnie pomiar
przyporządkowuje cechom, przysługującym mierzonym przedmiotom pod pewnym
względem, w sposób wzajemnie jednoznaczny pewne liczby jako ich miary, wedle
takiej zasady (relacji), która pewne stosunki między liczbami odwzorowuje na
pewnych stosunkach pomiędzy odpowiednimi cechami w sposób izomorficzny.
3. Zobaczymy teraz, jak wygląda owa zasada czy też relacja, wedle której
mierząc przedmioty, przyporządkowujemy im w sposób wielo-jednoznaczny pewne
liczby jako ich miary i która odwzorowuje pewne stosunki pomiędzy liczbami w
sposób homomorficzny na pewnych stosunkach pomiędzy odpowiednimi przedmiotami.
Najpierw jednak zobaczymy, jak wygląda owa zasada, wedle której mierząc
przedmioty pod danym względem, przyporządkowujemy ich cechom w sposób wzajemnie
jednoznaczny pewne liczby i która odwzorowuje pewne stosunki pomiędzy liczbami w
sposób izomorficzny na pewnych stosunkach pomiędzy odpowiednimi cechami.
Zasada tego przyporządkowania jest następująca. Po pierwsze, obieramy
sobie dowolny przedmiot, który w pewnych określonych warunkach pod danym
względem się nie zmienia, i przedmiotowi temu, pozostającemu w tych warunkach
(ściślej - fazom czasowym tego przedmiotu, w których znajduje się on w tych
warunkach) przyporządkowujemy miarę 1. Przedmiot ten (ściślej - odpowiednie
fazy czasowe tego przedmiotu) nazywamy "wzorcem jednostki mierniczej". Miarę 1
przyporządkowujemy równocześnie wszystkim przedmiotom, które są obranemu
wzorcowi pod danym względem równe. Jak z tego widać, to pierwsze
przyporządkowanie przedmiotom mierzonym ich liczbowych miar jest wielo-
jednoznaczne.
Klasę przedmiotów równych pod danym względem wzorcowi jednostki mierniczej
czy też cechę charakterystyczną tej klasy nazywamy "jednostką mierniczą" danego
rodzaju cech i jej również przyporządkowujemy liczbę 1 jako miarę tej cechy.
Jednostkę mierniczą oznaczać będziemy symbolem J. To przyporządkowanie jednostce
mierniczej liczby 1 jest wzajemnie jednoznaczne.
W praktyce nie zawsze wskazany jest pewien określony przedmiot jako
wzorzec jednostki mierniczej, ale niekiedy zostaje wskazana pewna klasa
przedmiotów między sobą pod danym względem równych i dowolny z elementów tej
klasy może służyć jako wzorzec jednostki mierniczej. Tak było np. przy
pierwotnym ustalaniu wzorca jednostki masy, kiedy za ten wzorzec przyjęto
dowolną porcję wody w temperaturze 4°C o objętości 1 cm3. Tak też jest przy
astronomicznej definicji wzorca jednostki czasu, wedle której wzorcem tym jest
dowolny obrót Ziemi o pewien określony kąt.
Czy obranie wzorca jednostki mierniczej jest sprawą zupełnie dowolną?
Abstrahujemy tu od względów praktycznej stosowalności wzorca, które nakładają
na niego pewne warunki. Idzie o to, czy wybór ten jest ze względów czysto
logicznych dowolny. Otóż w wypadku, gdy jako wzorzec obiera się którykolwiek z
przedmiotów w pewien sposób scharakteryzowanych (np. 1 cm3 wody w temperaturze
4°C), wybór ten nie jest dowolny, lecz podlega temu warunkowi, że wszystkie owe
przedmioty, którym przyporządkowujemy miarę 1, muszą być między sobą równe.
Analogiczny warunek odnosi się do wypadku, gdy jako wzorzec obiera się pewien
określony przedmiot w określonych warunkach (np. metr paryski w temperaturze
15°C). Obranie takiego przedmiotu jako wzorca jednostki jest dopuszczalne tylko
wtedy, gdy wiadomo z góry, że przedmiot ten w owych warunkach nie zmienia się
pod danym względem. Postulat ten jest dyktowany przez to, że gdybyśmy jako
wzorzec obrali którykolwiek z przedmiotów lub faz tego samego przedmiotu między
sobą różnych, to definicja jednostki mierniczej jako klasy abstrakcji od
któregokolwiek ze wzorców nie spełniłaby obowiązującego każdą definicję warunku
istnienia, taka klasa abstrakcji bowiem nie istnieje.
Jak z powyższego widać, wybór wzorca jednostki mierniczej nie jest sprawą
całkowicie dowolny, lecz musi być poprzedzony przez zbadanie empiryczne, czy
przedmioty, czy też czasowe fazy przedmiotu, które jako wzorzec obieramy, są
między sobą równe. Zbadanie tego nie wymaga jeszcze pomiaru ani wszystkich
leżących u jego podstaw definicji pomiarowych, lecz wystarcza tu już sama
definicja równości, która - jak widzieliśmy - wszelki pomiar poprzedza.
4. Następny krok przedsiębrany dla uzyskania przyporządkowania pomiędzy
mierzonymi przedmiotami czy też ich cechami a liczbami jest następujący:
obieramy pewną trójczłonową operację na cechach mierzonych przedmiotów (np. na
ich ciężarach), tzn. pewną funkcję o dwu argumentach, która dowolnym dwom cechom
danego rodzaju (np. dwom ciężarom) w sposób jednoznaczny przyporządkowuje jakąś
cechę (np. jakiś ciężar) jako swą wartość. Operację tę nazywać będziemy
dodawaniem fizycznym, a odpowiadającą jej funkcję - sumą fizyczną. Jako sumę
fizyczną ciężaru b i ciężaru c obieramy ciężar a dowolnego ciała, które się
zrównoważy na wadze, gdy na przeciwnej szalce położymy dowolne dwa ciała o
ciężarach b oraz c. Jako sumę dwóch długości b i c obieramy długość a dowolnego
odcinka, który daje się bez reszty pokryć przez dowolne dwa nie zachodzące na
siebie odcinki, z których jeden ma długość b, a drugi c.
Jak z przykładów tych widać, przy cechach przedmiotów mierzonych pod
różnymi względami w różny sposób obieramy operację ich fizycznego dodawania.
Fizyczna operacja dodawania ciężarów, to inna operacja niż operacja dodawania
odcinków, a suma fizyczna ciężarów, to inna funkcja niż suma fizyczna dwóch
odcinków.
Operacje te obierane są jednak nie w sposób dowolny, ale tak, aby były
izomorficzne z operacją dodawania liczb rzeczywistych. Tylko takie operacje na
cechach można nazwać dodawaniem fizycznym. Każdy zbiór cech zamknięty dla
jakiejś operacji izomorficznej z operacją dodawania arytmetycznego liczb
rzeczywistych nazywa się zbiorem wielkości addytywnych, a elementy tego zbioru -
wielkościami addytywnymi. Mówiąc prościej, zbiór wielkości addytywnych jest to
zbiór, w którym jest wykonalna pewna operacja posiadająca formalne własności
dodawania liczb rzeczywistych. Zbiór liczb rzeczywistych jest oczywiście zbiorem
wielkości addytywnych. Zbiorem wielkości addytywnych jest też zbiór ciężarów,
zbiór długości itd., gdyż są to zbiory, w których wykonalna jest pewna operacja
izomorficzna z dodawaniem arytmetycznym.
Nie dla każdego rodzaju cech jest to jednak możliwe, tzn. nie w każdym
rodzaju cech jest wykonalna pewna operacja izomorficzna z dodawaniem liczb.
Operacja taka jest wykonalna w zbiorze długości, ciężarów itd., ale nie ma
operacji spełniającej ten warunek, która by była wykonalna w zbiorze barw,
kształtów, temperatur itd. Innymi słowy, nie każdego rodzaju cechy są
wielkościami addytywnymi. Dlatego nie wszystkie rodzaje cech są dostępne
pomiarowi.
Jeżeli dany rodzaj cech jest zbiorem wielkości addytywnych, a więc jeżeli
daje się dla niego zdefiniować jakaś operacja dodawania fizycznego, która w nim
jest wykonalna, wówczas posługujemy się tą operacją dla dalszego
przyporządkowania wielkościom tego rodzaju ich miar liczbowych.
Przyporządkowujemy mianowicie stale sumie fizycznej dwóch wielkości jako jej
liczbową miarę arytmetyczną sumę ich miar
Przyjmijmy następujące oznaczenia: jeżeli a jest pewną wielkością, to
symbolem M(a) będziemy oznaczali jej miarę. Sumę fizyczną dwóch wielkości a, b
oznaczać będziemy jako S(a,b). Sumę arytmetyczną dwóch liczb A, B oznaczać
będziemy przez E(A,B).
Przy tych oznaczeniach możemy sformułowaną przed chwilą zasadę
przyporządkowania wielkościom ich miar liczbowych zapisać w postaci wzoru:
M[S(a,b)] = E[M(a),M(b)].
Stosując tę zasadę otrzymamy.
M[S(J,J)] = E[M(J),M(J)] = E(1,1) = 2 .
(przypominamy, że symbolem J oznaczamy wielkość będącą jednostką
mierniczą, której przyporządkowana została już miara 1).
Ogólnie, jeżeli M(a) = A, to
M[S(a,J)] = E[M(a),M(J)] = A+1 .
W ten sposób przyporządkowana zostanie każdej wielkości, która jest
fizyczną wielokrotnością jednostki mierniczej, pewna liczba całkowita jako jej
miara.
Wielkościom a, które niekoniecznie są wielokrotnością jednostki, ale które
są z jednostką współmierne, tzn. dla których można wskazać taką wielkość b, że:
a = Axb,
J = Bxb
(A i B są to liczby całkowite, [zaś symbolem x posługujemy się celem
oznaczenia iloczynu
przyporządkowujemy jako ich miarę ułamek A/B .
Wielkości te wraz z poprzednimi nazywamy wymiernymi.
Na koniec wielkościom a, które nie są współmierne z jednostką,
przyporządkowujemy jako ich miarę liczbę rzeczywistą, która jest większa od
wszystkich ułamków będących miarami wielkości wymiernych mniejszych od a i jest
mniejsza od wszystkich ułamków będących miarami wielkości wymiernych większych
od a.
Można wykazać, że naszkicowana zasada przyporządkowania wielkościom ich
liczbowych miar dokonuje tego przyporządkowania w sposób wzajemnie jednoznaczny.
Dowód tego twierdzenia daje się jednak przeprowadzić tylko dla wielkości, tzn.
na podstawie założenia, że operacja dodawania fizycznego interweniująca przy tym
przyporządkowaniu posiada formalne własności dodawania arytmetycznego. Gdyby
bowiem np. operacja dodawania fizycznego tych własności nie
miała, np. gdyby nie była przemienna, tak że mogłoby się zdarzyć, że
S(a, b) =/ S(b, a), [symbol "=/" został wprowadzony na oznaczenie stosunku
nierówności
to nasze przyporządkowanie nie byłoby wzajemnie jednoznaczne.
Mielibyśmy bowiem :
M[S(a, b)] = E[M(a), M(b)],
M[S(b, a)] = E[M(b), M(a)].
Ponieważ zaś dodawanie arytmetyczne jest przemienne, czyli
E[M(a), M(b)] = E[M(b), M(a)],
Zatem
M[S(a, b)] = M[S(b, a)],
mimo że
S(a, b) =/ S(b, a).
Różnym wielkościom byłaby więc przyporządkowana, wedle naszej zasady, ta
sama miara, a więc przyporządkowanie nie byłoby wzajemnie jednoznaczne. Można
też wykazać, że ilekroć między miarami pewnych wielkości, a więc między liczbami
rzeczywistymi, zachodzi pewien stosunek dający się wywieść z aksjomatów
arytmetyki liczb rzeczywistych, tylekroć między odpowiadającymi tym liczbom
wielkościami zachodzi stosunek analogiczny, tj. stosunek zdefiniowany tak samo,
z tą tylko różnicą, że w definicji tej znak dodawania arytmetycznego zastąpiony
jest przez znak dodawania fizycznego.
5. Wyłożony wyżej sposób przyporządkowania wielkościom ich miar liczbowych
jest więc, po pierwsze, przyporządkowaniem wzajemnie jednoznacznym, a po drugie,
takim, że ilekroć między liczbami rzeczywistymi zachodzi pewien stosunek
arytmetyczny, tylekroć między przyporządkowanymi tym liczbom wielkościami
zachodzi analogiczny stosunek fizyczny. Możemy więc powiedzieć, że wyłożony
wyżej sposób przyporządkowania ,wielkościom fizycznym ich miar liczbowych
odwzorowuje w sposób izomorficzny stosunki arytmetyczne między liczbami
rzeczywistymi na odpowiednich stosunkach fizycznych między wielkościami, których
te liczby są miarami.
Przeprowadzona wyżej analiza pozwoli nam podać definicję pomiaru. Brzmi
ona w sposób następujący : zmierzyć jakąś wielkość rodzaju P, to znaczy
przyporządkować jej jako jej miarę pewną liczbę rzeczywistą, wedle takiej
zasady, która stosunki arytmetyczne między liczbami rzeczywistymi odwzorowuje w
sposób izomorficzny na odpowiednich stosunkach fizycznych między wielkościami
rodzaju P. Pewien stosunek fizyczny nazywamy zaś stosunkiem odpowiadającym
pewnemu stosunkowi arytmetycznemu, gdy definicja owego stosunku fizycznego
powstaje z definicji stosunku arytmetycznego przez zastąpienie występującego
w niej znaku dodawania arytmetycznego przez właściwy dla danego rodzaju
wielkości znak dodawania fizycznego.
Łatwo też teraz powiedzieć, co to znaczy zmierzyć pewien przedmiot pod
pewnym względem. Znaczy to mianowicie : zmierzyć przysługującą temu przedmiotowi
pod tym względem cechę. Przeprowadzona wyżej analiza i wyprowadzona z niej
definicja pomiaru pozwala zrozumieć, na czym polega wartość pomiaru.
Przez ustalenie zasad pomiaru dla cech pewnego rodzaju zdobywamy, przede
wszystkim, dla tych cech systematyczną nomenklaturę. Zamiast mówić, "tak długi,
jak stopa naszego króla", "tak długi, jak jego przedramię", "tak długi, jak bok
piramidy Cheopsa" itp., jedną tylko długość określamy w podobny sposób,
mianowicie długość obranego wzorca, a wszystkie inne długości otrzymują swe
nazwy w postaci tzw. liczb mianowanych, złożonych z pewnej liczby będącej ich
miarą i z nazwy wzorca długości (np. 5 metrów, 0,4 metra itp.).
Dzięki takiej nomenklaturze związki, czyli stosunki pomiędzy cechami
pewnego rodzaju (lub różnych rodzajów) dają się często wyrazić w postaci pewnej
zależności arytmetycznej pomiędzy ich miarami liczbowymi, co z kolei umożliwia w
wielu wypadkach sformułowanie zależności pomiędzy pewnymi rodzajami cech w
postaci związku funkcjonalnego (np. ciśnienie x objętość = 12). Te dwa efekty
moglibyśmy jednak otrzymać przez jakiekolwiek przyporządkowanie liczb cechom
przedmiotów, a nie tylko przez takie, które jest pomiarem. Pomiar bowiem tym się
odznacza, że przyporządkowuje cechom przedmiotów pewne liczby jako ich miary w
sposób izomorficzny. Izomorfizm ten pozwala nam z tego, że między liczbami
przyporządkowanymi danym cechom jako ich miary zachodzi stosunek arytmetyczny
Ra, wnosić, że pomiędzy tymi cechami zachodzi odpowiedni stosunek Rf, i na
odwrót. Jaka z tego korzyść? Przypuśćmy, że na drodze obserwacji stwierdziliśmy,
że między fizycznymi cechami przedmiotów zachodzą związki fizyczne S'f
S''f...S(n)f. Na mocy izomorfizmu wynika z tego, że między miarami tych cech
zachodzą odpowiednie związki arytmetyczne S'a S''a...S(n)a. Otóż potężne
narzędzie matematyki pozwala nam często ze stosunków arytmetycznych S'a
S''a...S(n)a, wyprowadzić w drodze dedukcji matematycznej nowe związki
arytmetyczne R'a R''a...R(k)a. Dzięki izomorfizmowi między stosunkami fizycznymi
zachodzącymi między cechami przedmiotów a stosunkami arytmetycznymi, które
zachodzą między liczbami stanowiącymi ich miary, z zachodzenia związków
arytmetycznych R'a R''a...R(k)a, możemy wnosić 0 zachodzeniu odpowiednich
stosunków fizycznych R'f R''f...R(k)f. Stosunki fizyczne S'f S''f...S(n)f
stwierdzone na wstępie na podstawie obserwacji są zazwyczaj proste, tymczasem
związki R'f R''f...R(k)f, wydedukowane za pomocą matematyki i izomorfizmu
zagwarantowanego przez pomiar mogą być bardzo skomplikowane i nawet niedostępne
bezpośredniej obserwacji. Widzimy z tych ogólnych rozważań, że dzięki takiemu
przyporządkowaniu liczb cechom fizycznym przedmiotów, którego dokonujemy przez
pomiar, możemy korzystać z aparatu matematyki dla wyprowadzania z twierdzeń
zdobytych na drodze obserwacji odległych ich konsekwencji, które mogą nawet
wykraczać poza granicę możliwego doświadczenia. Jeśli poza te granice nie
wychodzą, mogą one służyć do przewidywania przyszłych obserwacji, a tym samym,
służyć do sprawdzania prawidłowości i hipotez, z których je wyprowadziliśmy. Jak
z tego widać, mogą nauki stosujące pomiar więcej przewidywać i lepiej sprawdzać
swoje hipotezy, a nawet wykraczać poza granice doświadczenia. Wszystko to
podnosi ich wartość poznawczą i praktyczną.
<*> Tekst referatu wygłoszonego w roku 1957 na konferencji wykładowców
logiki w Osiecznej, zorganizowanej przez MSW w związku z nowym programem logiki
dla przyrodników.