Blog literacki, portal erotyczny - seks i humor nie z tej ziemi
15.GRANICA
FUNKCJI W PUNKCIE.
Niech x 0 oznacza dowolną
liczbę rzeczywistą , e zaś - dowolną liczbę dodatnią.
Sumę
przedziałów : nazywamy sąsiedztwem punktu x 0 o promieniu e
i oznaczamy symbolem S ( x 0
; e). Mamy więc S (
x 0
; e ) = U ( x 0
; e ) - { x 0 }
, gdzie U ( x 0 ; e
) oznacza
otoczenie punktu x 0 o promieniu e. Do sąsiedztwa S ( x 0 ; e) należą zatem wszystkie i tylko te
punktu , które
należą
do otoczenia U ( x 0
; e ) z wyjątkiem
punktu x 0
.
Definicję
sąsiedztwa możemy zapisać również tak : x ÎS ( x 0 ; e )
Przypuśćmy
, że funkcja f jednej zmiennej x jest określona na pewnym sąsiedztwie
S punktu x 0
,
czyli S Í
Df . Punkt x 0 może nie należeć
( ale może należeć ) do dziedziny Df funkcji f.
Wartość
tej funkcji w punkcie x 0 może więc nie
być określona.
Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie:
Liczbę g nazywamy
granicą funkcji f w punkcie
x 0 i piszemy dla każdego
ciągu ( x n ) o wyrazach x n ÎS zbieżnego do x 0 , ciąg ( f ( x n )) jest zbieżny
do g .
Powyższa
definicja jest równoważna definicji:
Liczbę g nazywamy
granicą funkcji f w punkcie x 0 i piszemy dla każdego
e> 0 istnieje
takie sąsiedztwo S punktu x 0 , że dla każdego x Î S jest spełniona
nierówność
.
Ta definicja granicy
funkcji zwana jest definicją Cauchy'ego. Orzeka ona , że liczba
g jest granicą funkcji f w punkcie x 0 ?różnica f ( x ) - g jest dowolnie bliska
zeru , jeżeli tylko x jest dostatecznie bliskie x 0
( tzn. jeśli x należy
do sąsiedztwa punktu x 0
o dostatecznie małym promieniu ).
Twierdzenie:
Jeżeli
i to
ll
ll
l ; b ? 0 ; l
ll
Granica
niewłaściwa funkcji w punkcie.
Twierdzenie:
Jeśli w pewnym sąsiedztwie
punktu x 0 funkcja g przyjmuje tylko wartości
dodatnie i
to funkcja f określona
jest wzorem ma w punkcie x 0 granicę niewłaściwą +?dla a Î R+
zaś granicę niewłaściwą
-?dla a
Î R-
.
Definicja: ( niech f
oznacza funkcję określoną na przedziale ( a ; x 0 ).
Liczbę l nazywamy
granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0
i piszemy
?dla każdego ciągu ( x n ) o wyrazach x n Î ( a ; x 0 ) zbieżnego do x 0
, ciąg ( f ( x n )) jest zbieżny do l.
Analogicznie określamy
granicę prawostronną p. funkcji f w punkcie x 0 i piszemy
Powyższe granice
nazywamy granicami jednostronnymi
funkcji f w punkcie x 0 . Funkcja ma w punkcie granicę
?ma w tym punkcie obie granice jednostronne
, które są jednakowe.
Granice funkcji w
nieskończoności. ( niech f oznacza funkcję określoną
na przedziale nieskończonym (a;+?).
Liczbę k nazywamy
granicą funkcji f w plus nieskończoności i piszemy
?dla każdego ciągu ( x n ) o wyrazach x n Î ( a ; +?) rozbieżnego do +? , ciąg
( f ( x n )) jest zbieżny do k.
Analogicznie określamy
granicę k funkcji f w minus nieskończoności i piszemy
Jeżeli granicą (
granicą jednostronną , granicą w nieskończoności ) funkcji
jest liczba rzeczywista , to
mówimy ,że jest to
granica właściwa.
Ciągłość funkcji.
Zakładamy , że funkcja f jest określona na pewnym
otoczeniu punktu x 0 .
Funkcja f jest ciągłą
w punkcie x 0 ?
Funkcja f jest więc ciągła
w punkcie x 0 ?
lma w punkcie x 0 granicę g i x 0 należy do dziedzinyl
lma w punkcie x 0 wartość f ( x 0 )l
lgranica g
jest równa wartości f ( x 0
)l
Ciągłość funkcji w zbiorze.
Funkcja
ciągła na przedziale otwartym ( skończonym lub nieskończonym
) , jest to funkcja ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Funkcja f ciągła na przedziale domkniętym < a ; b > ,
jest to funkcja ciągła na przedziale ( a ; b ) , która spełnia
na końcach tego przedziału następujące warunki:
oraz
O funkcji , która ma co
najmniej jeden punkt nieciągłości mówimy , że jest to
funkcja nieciągła ; w przeciwnym przypadku mówimy , że jest
to funkcja ciągła ( na swej dziedzinie ).
Funkcje ciągłe to:
wielomian , f. wymierna , f. pierwiastkowa , sinus , cosinus ,
tangens , cotangens.
Własności funkcji
ciągłych.
Twierdzenie:
Jeżeli funkcje f i g są
ciągłe w punkcie x 0 to suma , różnica , iloczyn ,
iloraz jest ciągły w punkcie x 0
to g (x 0 ) ?
0.
Twierdzenie:
Jeżeli funkcja f jest
ciągła w przedziale domkniętym < a ; b > i ma różne
wartości na końcach przedziału
( f ( a ) ?f ( b ) ) oraz liczba q należy
do przedziału otwartego ( f ( a ) ; f ( b ) ) to istnieje co
najmniej jeden punkt c należący do ( a ; b ) , że f ( c ) = q
.
Wniosek:
Jeśli funkcja f jest ciągła
w przedziale domkniętym < a ; b > i wartości na końcach
przedziału są różnych znaków tzn. f ( a )*f ( b ) < 0 ,
to istnieje w przedziale otwartym ( a ; b ) co najmniej jedno
miejsce zerowe funkcji f ( znalazło to zastosowanie do przybliżonego
rozwiązywania równań ).
Twierdzenie:
Jeżeli funkcja jest ciągła
w przedziale domkniętym to przyjmuje w nim wartość największą
i najmniejszą